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El Álgebra como Ciencia Árabe

Conferencia en el Departamento de Estudios Árabes e Islámicos de la Universidad Autónoma de Madrid

11/03/2002 - Autor: L. Jean Lauand - Fuente: Webislam
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1. La Ciencia y su contexto cultural

Analizaremos el Álgebra como ciencia árabe.

Comencemos por anticipar algunos puntos de discusión sobre qué significado puede tener hablar de una ciencia de esta o de aquella nación o cultura — para más allá del mero hecho de indicar el nivel de desarrollo o la producción de los científicos de una determinada nacionalidad, como cuando se dice por ejemplo: “la Física rusa está muy desarrollada y ha ganado muchos Premios Nobel” o “sólo la Medicina americana logra hacer tal transplante”, etc.

Ordinariamente tendemos a pensar que el conocimiento científico es independiente de latitudes y de culturas: una fórmula química o un teorema de geometría son los mismos en latín , en francés o en chino y, siendo la comunicación el único problema —así se piensa, en un primer vistazo—, bastaría con una buena traducción de los términos propios, de la jerga de cada ciencia y todo estaría arreglado (así, ¡theory of sets se dice teoría de los conjuntos o theorie des ensembles y ya está...!).

En realidad, sabemos que las cosas no son tan sencillas y no hace falta mucho esfuerzo para acordarse de que la evolución de una ciencia tropieza con muchas interferencias histórico-culturales, que condicionan desde la creación de esa ciencia hasta el reconocimiento de un resultado o la adopción de un modo de proceder científico...

Es conocido, por ejemplo, el hecho de que espíritus tan revolucionarios como Galileo o Descartes hicieron hincapié en el “dogma científico” del horror al vacío; y que sólo Pascal —en la misma época y tras haberse resistido mucho— haya logrado superar ese error.

Descartes, en su Principios de la Filosofía —el tratado que comienza por afirmar que hace falta dudar radicalmente de todo, aún mismo de lo que pueda presentar la más mínima incerteza—, toma como una intuición indiscutible de la razón la idea tradicional de que la naturaleza tiene horror al vacío...

Los condicionantes de surgimiento de una ciencia son de diversos órdenes.

Así, al decir que la Geometría (geometria, en griego) es ciencia griega o que el Álgebra (al-jabr) es ciencia árabe (1), estamos diciendo algo más que la “casualidad” de que hayan sido unos señores griegos (o árabes...) sus fundadores o promotores.

Nos acercamos más al sentido de la expresión “ciencia árabe” cuando pensamos en casos paralelos. Se dice, por ejemplo, que la caligrafía es un “arte árabe”, pero no se dice que la pintura o el teatro sean “artes árabes”.

En estos casos, no estamos interesados en el hecho de que haya muchos y muy talentosos calígrafos árabes (o en la correspondiente escasez de pintores...), sino en una “conexión de sentido” entre el arte caligráfico y factores como: la actitud musulmana hacia la escritura (y su relación, digamos, con el modo como el Corán considera los ayyat, los señales de Dios); la desconfianza semita para con la imagen; total: que estamos pensando en condicionantes como la lengua, la religión, la mentalidad etc.

En el caso del Álgebra, no es casual que haya ella nacido en el califato abasida (“los abasíes —al contrario de los omeyas—, quieren aplicar con rigor la ley religiosa a la vida cotidiana” (2)), no es casual que haya surgido en el seno de la “Casa de la Sabiduría” (Bayt al-Hikma) de Bagdad, promocionada por el califa Al-Maamun(3), una ciencia nacida en lengua árabe y creada por Al-Khwarizmi, que es no sólo uno de los fundadores de la ciencia árabe, sino un antagonista de la ciencia griega.

Desde luego, el Álgebra que se estudia hoy en las modernas matemáticas —esa que estudiáis aquí en la universidad— con sus cuerpos, aneles, espacios de vectores etc., lo que la moderna matemática entiende por Álgebra bien puede parecer una fría y objetiva axiomática — una mera sintaxis de estructuras operatorias sin alcance semántico. Pero esta Álgebra de hoy es el producto de una evolución —en desarrollo continuo— de la vieja al-jabr, que nació en un ambiente cultural al cual no son ajenos elementos que van desde las estructuras gramaticales del árabe hasta la teología musulmana de entonces...

2. Al-jabr y al-muqabalah

Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi fue miembro de la “Casa de la Sabiduría”, aquella notable academia científica de Bagdad, que ha logrado su esplendor bajo Al-Maamun (califa 813-833). A ese califa, Al-Khwarizmi ha dedicado su Al-Kitab al-muhtasar fy hisab al-jabr wa al-muqaba-lah (“Libro breve para el cálculo de la jabr y de la muqabalah”), el libro fundador del Álgebra.

Fijémonos, primeramente, en el hecho de que las palabras que dan nombre a la nueva ciencia, al-jabr y al-muqabalah —aunque Al-Khwarizmi las emplee en sentido técnico—, eran (y lo son todavía) términos tomados del lenguaje corriente árabe (es importante darse cuenta además que todo el lexicon originario del Álgebra fue sacado del lenguaje cotidiano). El radical trilítere j-b-r (y, como se sabe, el radical tri-consonantal es lo que hace la determinación de sentido fundamental en árabe...) está asociado a los siguientes significados:

— Fuerza: por ejemplo, el ángel Gabriel, Jibryl, es, literalmente, fuerza-de-Al-lâh. En el Corán (59, 23), Al-Jabar, el fuerte, aquel que realiza su voluntad — es uno de los nombres de Al-lâh.

— Fuerza que arrastra, que impone: el Corán en diversos pasajes (11, 59; 14, 15; 28, 19; 40, 35; etc.) emplea j-b-r para significar “tiranizar”, “tirano” etc.. Y no es casual que la escuela teológica musulmana que niega el libre albedrío del hombre —y en su puesto pone el inevitable destino predeterminado— haya sido llamada jabariyah... Y el servicio militar obligatorio es ij-bary...

— Restablecer: poner (o volver a poner) algo en su sitio, en su debido puesto, restablecer una normalidad. De ahí que tajbir (siempre el radical j-b-r...) sea ortopedia y jibarah, reducción de una fractura, en el sentido médico de reconducir: la fuerza que reconduce el hueso a su debido sitio (escayolando el brazo quizás...). En España, todavía en el siglo XVI, en el tiempo en que los barberos acumulaban funciones, se podía leer en carteles: “Fulano, Barbero, Algebrista y Sangrador”(4).

¿Por qué Al-Khwarizmi elige la palabra jabr para el procedimiento fundamental de su nueva ciencia?

Precisamente porque —tal como en ortopedia— Álgebra es “obligar por fuerza cada término —cada término de una ecuación— a ocupar su debido puesto”.

Ya en el comienzo de su Kitab, Al-Khwarizmi distingue seis formas de ecuación a las cuales, toda ecuación dada pode ser reducida (y, por tanto, canónicamente resuelta).

En notación de hoy:

1. ax2 = bx

2. ax2 = c

3. ax = c

4. ax2 + bx = c

5. ax2 + c = bx

6. bx + c = ax2

Al-jabr es la operación que adiciona un mismo factor (con la señal + de suma) a ambos los miembros de una ecuación para eliminar un factor afectado por la señal —.

Por otro lado tenemos la operación que suprime términos iguales de las dos partes de la ecuación: al-muqabalah (de q-b-l, cuyo significado es: estar delante, cara a cara —de ahí la qiblah en la mezquita es lo que indica la dirección de Meca— y qabila es besar, confrontar; equiparar etc.).

Tomemos por ejemplo un problema en que los datos pueden ser dispuestos bajo la forma (en notación de álgebra actual):

2x2 + 100 — 20x = 58.

Al-Khwarizmi procede del modo siguiente:

2x2 + 100 = 58 + 20x

(por al-jabr).

Enseguida divide por 2 y reduce los términos semejantes:

x2 + 21 = 10x

(por al-muqabalah).

Y el problema está ya canónicamente ecuacionado.

Tras esta digresión técnica, podemos analizar (o más bien aludir, indicar...) las relaciones y conexiones de sentido que se dan entre el Álgebra y algunos trazos de la cultura árabe.

3. El Álgebra en los cuadros del Islam: lo religioso y lo temporal

Empezemos por los fundamentos de las necesidades prácticas de la sociedad. En su estudio “LIslam et lépanouissement des sciences exactes”(5), Roshdi Rashed, para enseñar la conexión, el enlace entre El Corán, la ciencia y la vida práctica, ejemplifica precisamente con el Álgebra: ilm al-faraid (ciencia de la repartición, de la herencia). Los juristas musulmanes se refieren al Álgebra como hisab al-faraid, el cálculo de la herencia, cálculo hecho según la ley coránica.

Y precisamente ahí tenemos ya un primer condicionante histórico-cultural, propio del Islam.

Para estudiar el Islam el caso de la herencia es emblemático, especialmente representativo de la sólida unión que se da, en el Islam, entre el orden religioso y el orden temporal.

Por feliz coincidencia, el mismísimo problema de la herencia (que, para el musulmán, queda bajo la directa legislación de Allah) es planteado a Jesucristo. Jesucristo, que declara —algo impensable en la visión de mundo musulmana— “A César lo que es de César; a Dios lo que es de Dios”, se niega a establecer concretamente los términos de repartición de la herencia.

Se trata de un pasaje evangélico en apariencia poco importante; muchísimo más conocido es, por ejemplo, aquel otro versículo del mismo pasaje: “Mirad los lirios del campo...”. Pero me atrevería a decir que más importante es el episodio olvidado que además es la clave para entender por qué Jesucristo invita a mirar los lirios o las aves del cielo...

De hecho, casi nadie se acuerda de la razón por la cual Jesucristo invita a mirar las aves del cielo...

El hecho es que —lo narra el evangelio de Lucas— “uno de la muchedumbre” se acerca a Jesucristo y le hace una petición: que Jesús se valga de su autoridad para convencer a su hermano a repartir con él la herencia (Lc 12, 13). Para sorpresa de aquel hombre (y en contra de la mentalidad antigua y oriental, que ligaban el poder religioso a cuestiones temporales...), Jesu-cristo se niega rotundamente a tomar partido en esa cuestión, como se niega también a dar cualquier criterio concreto sobre este problema. Y dice: “Hombre, ¿quién me ha establecido árbitro o juez de vuestra repartición?” (Lc 12, 14). Lo único que hace es una condenación genérica de la codicia, de la avaricia, de la injusticia y cuenta a esos hermanos la parábola del hombre rico cuyos campos habían producido abundante fruto etc. Y concluye con el célebre: “Mirad los lirios del campo...”.

Muy distintas son las cosas en el mundo musulmán. Roger Garaudy, en el capítulo “Fe y Política” enseña cómo la tawhid (unidad, dogma central islámico) se proyecta sobre la política, el derecho y la economía: “Allah es el único propietario y él es el único legislador. Este es el principio fundamental del Islam en su visión de unidad (tawhid)”(6). Naturalmente, no se trata (no hay sacerdotes...) de una teocracia clerical a modo occidental, sino que el Islam favorece una fuerte y enraizada teocracia propia: no es casual que el jefe político se titule ayyatullah, “señal de Al-lâh”.

En todo caso, el Corán (4, 11 y ss.) sí que afirma concretamente: “Allah os ordena lo siguiente en lo que toca a vuestros hijos: que la porción del varón equivalga a la de dos hembras. Si éstas son más de dos(7), les corresponderán dos tercios de la herencia. Si es hija única, la mitad. A cada uno de los padres le corresponderá un sexto de la herencia, si deja hijos; pero si no tiene hijos y le heredan sólo sus padres, un tercio es para la madre. Etc., etc.”.

Y concluye: “De vuestros ascendientes o descendientes, no sabéis cuáles os son más útiles. Ésta es obligación de Allah. Allah es omnisciente, sabio”.

Contrastemos esto con la doctrina cristiana.

Naturalmente, para un cristiano, el mundo es creación de Dios y obra de Su Inteligencia: el mundo fue creado por el Verbum y, por tanto, conocer el mundo es conocer señales de Dios. Y más: cada criatura es porque es creada inteligentemente por Dios, participa del ser de Dios. El Dios cristiano es —por diversos títulos— Emmanuel, Dios con nosotros, y por la Encarnación, la eternidad de Dios irrumpe en la temporalidad y Cristo encabeza, recapitula (como dice el nuevo Catecismo de la Iglesia Católica) toda la realidad creada.

De ahí que la Iglesia defienda con tenacidad las leyes morales, como leyes naturales de la dignidad del ser del hombre, dignidad que le ha sido suministrada por el acto creador del Verbum. Pero, precisamente por esa misma concepción teológica, el cristiano debe afirmar la más radical autonomía de las realidades temporales: porque el mundo es obra del Verbum, la realidad temporal tiene su verdad propia, sus propias leyes, naturales, echando fuera el clericalismo (8).

Así, si yo quiero ocuparme, digamos, de producir naranjas, no debo acudir a los obispos ni a la Biblia, sino que debo estudiar “naranjología”: porque el Verbo ha creado inteligentemente las naranjas y les ha dado leyes: debo plantarlas —qué sé yo?— en tal mes, cogerlas en tal otro etc.

Lo curioso es que la autonomía de las realidades temporales tiene su fundamento en la teología de la Trinidad...

Ésta es incluso la doctrina oficial de la Iglesia que rechaza igualmente el clericalismo y el laicismo (que pretende echar fuera a Dios de la realidad social). En el mismo pasaje (4, 36) en que la Lumen Gentium afirma: “ninguna actividad humana puede ser excluida del dominio de Dios”, en este mismo pasaje se añade: “hay que reconocer que la ciudad terrena, a quien son confiados los cuidados temporales, se rige por principios propios”.

Y la Gaudium et Spes (1,3,36): “Si por autonomía de las realidades terrestres se entiende que las cosas creadas y las mismas sociedades gozan de leyes y valores propios, que deben ser conocidos, empleados y ordenados gradualmente por el hombre, entonces es absolutamente necesario exigir esa autonomía. Y esto no es sólo una exigencia de los hombres de nuestro tiempo, sino que es la voluntad del Creador. Por la misma condición de la creación, todas las cosas son dotadas de fundamento propio, de verdad, bondad, leyes y orden específicos. El hombre debe respetar todo esto, reconociendo los métodos propios de cada ciencia y arte”.

En el extremo opuesto está un Ayyatulah Khomeini(9): “Se suele decir que la religión debe estar apartada de la política y que las autoridades religiosas no se deben meter en asuntos de Estado. (...) Tales afirmaciones son propias de ateos: son dictadas y diseminadas por los imperialistas. ¿Acaso estaba la política apartada de la religión en el tiempo del Profeta? (¡Que Al-lâh lo bendiga a él y a sus fieles!)” (p. 27). “El Islam tiene preceptos para todo lo que toca al hombre y a la sociedad. Esos preceptos proceden del Omnipotente y son transmitidos por su Profeta y Enviado. (...) No hay tema sobre el cual el Islam no haya emitido su juicio” (p. 19). “La instauración de un orden político secular equivale a impedir el progreso del orden islámico. Todo poder secular, sea cual sea la forma por la que se manifieste, es necesariamente un poder ateo, obra de Satanás. Es un deber nuestro extinguirlo y combatir sus efectos. (...) No hay otra solución sino la de derrumbar todos los gobiernos que no se asienten sobre los puros principios islámicos, siendo, por tanto, corruptos y corruptores...) Este es el deber, no sólo de los iranianos, sino de todos los musulmanes del mundo” (p.23).

Naturalmente, no todos los musulmanes piensan así, pero hay en el Islam una inclinación para la confusión entre lo religioso y lo político. Como también una cosa es la doctrina oficial de la Iglesia y otra —muy distinta— la escasa conciencia que muchos católicos tienen de la autonomía de la realidad temporal...

El Islam tiende a reducir lo temporal a lo religioso. Al contrario del cristianismo, el Islam afirma una absoluta trascendencia de Al-lâh (trascendencia subrayada por la doctrina muatazilita, oficial en la época de al-Khwarizmi) y una revelación dictada, “bajada” (en árabe, el verbo nazala, que se aplica a la revelación divina, significa además —y originariamente—”bajar”).

La revelación de Al-lâh y su tawhid están indicadas por señales en el (10) mundo. Y el principio de la unidad no se aplica sólo a la política, sino también a las ciencias. Primeramente, las ciencias están a servicio de la fe (11), no sólo como señales místicos de Al-lâh sino ante todo de un modo práctico: una sociedad bajo la fuerte y urgente necesidad de obedecer a las leyes del Altísimo, necesita operacionalizar —tornar operativas...— las soluciones de los graves problemas de repartición de herencia.

El Álgebra es una ciencia que nace para dar solución a ese problema planteado por el Corán (12).

Caben aquí un par de sugerentes observaciones:

1) Es significativo el hecho de que precisamente la parte dedicada a problemas prácticos de herencia —la parte III del Kitab—, que ocupa más de la mitad del libro de Al-Khwarizmi, es suprimida en las traducciones latinas —de mediados del siglo XII— de Roberto de Chester —en Segovia— y de Gerardo de Cremona, en Toledo).

2) El Álgebra de Al-Khwarizmi es completamente retórica y no emplea símbolos: Los números simples son designados por dirham, la unidad de moneda (el dólar, diríamos hoy día); la incógnita, el x, se designa por la palabra árabe xay, cosa, y, si es de orden cuadrada, mal (riqueza, bienes, fortuna).

Pero volvamos a los enlaces de ciencia y fe. De un modo intrínseco: “el principio de la tawhid, el punto capital de la experiencia islámica de Al-lâh, excluye la separación entre ciencia y fe. Si todo, en la naturaleza, es ayyat señal de la presencia divina, el conocimiento de la naturaleza se torna (...) un acceso a Al-lâh. (...) La sabiduría de la fe anuda, integra todas las ciencias en un conjunto orgánico, pues todas tienen un objetivo en el mundo que, en su totalidad, es una teofanía, una revelación de los señales de Al-lâh. El universo es un ícono en el cual el Uno se revela por medio del múltiplo por mil símbolos”(13).

En ese sentido, el Álgebra cobra extraordinaria importancia como instrumento de enlace entre las ciencias. Refiriéndose a la época en que surge el Álgebra de Al-Khwarizmi, Roshdi Rashed dice:

“El comienzo del siglo IX es un gran momento de expansión de la matemática helenística en lengua árabe. Ahora bien, es precisamente en ese período y en ese ambiente (lo de la “Casa de la Sabiduría” de Bagdad) que Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi escribe un libro con materia y estilo nuevos: nace el Álgebra como disciplina matemática distinta e independiente.

Tal surgimiento —y ya los contemporáneos se dan cuenta de eso— fue de importancia crucial, sea por el estilo de esa matemática por la ontología de su objeto y, todavía más, por la riqueza de posibilidades que con ella se abren. El estilo es, a la vez, algorítmico y demostrativo y, con esa álgebra, inmediatamente se deja entrever la inmensa potencialidad que las Matemáticas tendrán desde entonces: la aplicación mutua entre las asignaturas matemáticas” (14).

4. El Álgebra en el sistema lengua/pensamiento árabe.

No sólo con la religión: el Álgebra se relaciona además —de modo más o menos directo— con el —para emplear la expresión de Johannes Lohmann (15)— sistema lengua/pensamiento árabe.

Analizando, pues, la lengua podremos tener una mejor comprensión de aspectos del Álgebra como ciencia árabe y de su evolución (en contraposición a la Geometría, como ciencia griega).

Un importante primer punto en las relaciones entre lengua y “forma de pensamiento” (Lohmann) es la de que “lo que importa no son las lenguas en sí, sino las lenguas en la medida en que predeterminan una cierta concepción de mundo para el hablante, o como dice Heidegger, eine Erschlossenheit des Daseins”(16).

O sea, que, de algún modo, el alcance del pensamiento se condiciona por el lenguaje. No sólo por el mayor o menor número y acuidad de conceptos y potencial expresivo de los vocábulos, sino también (y sobre todo) por las estructuras peculiares de cada lengua o familia de lenguas. Así cabe hablar de sistema lengua/pensamiento, que, en el caso del griego, es justamente designado por logos y, en el caso del árabe, por mana.

“El concepto de mana, intencionalidad (17), es tan característico de la forma árabe de pensamiento, como lo es la noción específica del termino griego logos, en su concepción original, para la forma de pensamento del griego clásico. Y, además, precisamente por esas dos nociones, o, por decirlo así, bajo el influjo de esas dos nociones, es que estas dos formas de pensamiento, encarnadas, cada cual en su lengua —el griego clásico y el árabe clásico— se han expresado en filosofía”(18). Y podemos añadir: se han expresado además en Álgebra y Geometría.

El sistema griego, logos, busca establecer una exacta correspondencia entre pensamiento y realidad. Correspondencia biunívoca ya programáticamente establecida por Parménides quando afirma: Tò gàr auto noein estin te kaì einai (“Pensar y ser son lo mismo”).

Tal pretensión de pensamiento es posibilitada por diversos fenómenos de lenguaje. Señalemos solamente dos para poder hacer el contraste con el árabe.

1) Contrariamente al árabe, en el centro semántico del sistema griego, “se encuentra el verbo esti (ser), que, según Aristóteles, está implicitamente contenido en cualquier otro verbo”(19). El verbo ser, característica central del sistema logos (y de todo el indoeuropeo), permitiría el enlace exacto entre la realidad misma y el pensamiento: por el verbo ser, el pensamiento homo-loga el real.

Un ejemplo nos ayudará a compreender esa relación. Supongamos que vengan aquí los expertos en normas de seguridad contra incendio que van a homo-logar esta edifícación. Entonces, hay una norma ideal que prescribe —¿qué sé yo?— que haya tantos y tales extintores, que haya tantas y tales salidas de emergencia etc. Ellos disponen de un logos, de un cuerpo de normas técnicas racionalmente establecidas e, inspeccionando una edificación, van a verificar si la realidad (la presencia de tantos y tales extintores, de puertas metálicas etc.) de aquella edifícación está en el mismo logos (homo-logos) de la norma. De este mismo modo, para el sistema griego, el pensamiento está en homo-logia con la realidad.

2) La lengua griega flexiona temas (mientras el árabe flexiona la misma raiz de una palabra). En el ejemplo tradicional de las gramáticas elementales de latín (y, obviamente, al griego le pasa igual), el radical ros de rosa permanece fijo, pues una rosa es una rosa; cualquier otro factor (cualquier cosa que le sobrevenga a la sustancia rosa, su relacionamento con el mundo exterior, sus calidades etc.): del color de la rosa (genitivo) a la mosca que en ella se asienta (ablativo), se registra en las desinencias rosam, rosarum, rosae etc.

Pero el radical (que corresponde a la ousía, a la substantia) permanece intocado.

Con el árabe, todo es distinto: para el árabe no hay radicales fijos: el radical trilítere —por ejemplo: S-L-M- es intra-flexionado: SaLaM; iSLaM; SaLyM; muSLiM etc.

Lohmann interpreta este hecho del modo siguiente:

“El árabe, como el semítico en general, de una parte; y el griego, de otra, establecen relaciones con el mundo respectivamente por el oído y por el ojo. Tal hecho ha conducido el hablante semita a una preponderancia de la religión, mientras el griego se volvió el inventor de la teoría. De ahí de-corre (o ¿procede...?) una diferencia análoga de las correspondientes lenguas, cuanto a su tipo de expresión. Cada uno de eses dos tipos se caracteriza por un procedimiento gramatical específico: flexión de raíces en el semítico y flexión de temas en el indoeuropeo antiguo”.

La omnipresencia del verbo ser y la flexión de temas, como agudamente indica Lohmann, favorecen un sistema logos (“ocular”, “especular”) de correspondencia exacta entre pensamiento y realidad que, como veremos, es característica también de la Geometría griega.

El árabe se inclina hacia el sistema mana —pensamiento “auricular”, “pensamiento confundente”(20)— por la ausencia de las amarras del verbo ser como verbo de ligación, por la indeterminación semántica de sus radicales trilíteres etc. Hay, así, una despretensión de alcanzar la ousía, la substantia. Tal despretensión es confirmada por la religión y, en especial, por la doctrina muatazilita, el pensamiento teológico impuesto oficialmente por Al-Maamun en Bagdad. Se pueden aplicar al Álgebra las consideraciones de Lohmann sobre la “distorsión” en la recepción de la filosofía griega por los árabes y, especialmente, por Averroes:

“(Un aspecto) que se debe tener en cuenta para comprender la intención del Comentador (en su interpretación de Aristóteles) es la noción de essentia (como traducción de la palabra árabe dhat). Dhat —concepto profundamente enraizado en el aristotelismo árabe en la especulación teológica islámica del siglo IX, en Bagdad— es la esencia de Dios, en oposición a sus atributos, por cuya mediación, se habla de Dios en el Corán. La esencia de Dios, según la doctrina mutazilita es absolutamente trascendente en oposición a esos atributos. Esa trascendencia absoluta de Dios —expresa por la noción dhat y traducida en latín por essentia—, en oposición a todas las nociones descriptivas (sifat, en árabe) (...) se volvió una trascendencia de la cosa real en relación al intelecto humano”.

A todo eso, añádase el criterio —por cierto no casual— de selección de fuentes del mismo Al-Khwarizmi. Solomon Gandz, el moderno editor de Al-Khwarizmi, considera esencial, en el fundador del Álgebra, su carácter oriental, no-griego y aún anti-griego. Vale la pena transcribir su introducción al capítulo “Mensuración” del Kitab:

5. Al-Khwarizmi, el antagonista del influjo griego

En la universidad de Bagdad, fundada por Al-Maa-mun (813-33), la Bayt al-Hikma, donde Al-Khwariz-mi trabajó bajo el patrocinio del Califa, floreció también un antiguo compañero suyo, Al-Hajjaj ibn Yu-suf ibn Matar. Este era el jefe de la corriente favorable a la recepción de la ciencia griega por parte de los árabes. Ha dedicado toda su vida a traducir al árabe las obras griegas. Aún en el califato de Harun al-Rashid (786-809), Al-Hajjaj había traducido Los Elementos de Euclides (...). Posteriormente (829-830), tradujo el Almagesto. Ahora bien, Al-Khwarizmi nunca menciona a su colega y ni siquiera sus obras. Euclides y su Geometría, aunque disponibles por la buena traducción de su compañero, son de todo ignorados por Al-Khwarizmi, cuando él escribe sobre Geometría. Y en el “Prefacio” de su Álgebra, Al-Khwarizmi claramente enfatiza su propósito de escribir un tratado popular que, al contrario de las matemáticas teóricas griegas, sirva a fines prácticos del pueblo en sus negocios de herencias y legados, en sus asuntos jurídicos, comerciales, de explotación de la tierra y de escavación de canales. Al-Khwarizmi es todo lo contrario de un discípulo de los griegos: es el adversario de Al-Hajjaj y de la escuela griega. Él es el representante de las ciencias populares nativas. En la Academia de Bagdad, Al-Khwarizmi representa una reacción en contra de la introducción de las matemáticas griegas. Su Álgebra produce una impresión de protesta contra la traducción de Euclides y contra toda la tendencia de acogida de las ciencias griegas(21).

6. Árabe x Griego: los conceptos de razón y proporción

La geometría griega es el modelo acabado del sistema griego, de una “lengua de visión”, en correspondencia, tanto cuanto posible, biyectiva con lo real.

Ese “tanto cuanto posible” impone sus límites: en la matemática griega, no encontraremos el número cero (el cero no tiene correspondiente-logos con lo real) y es conocido el escándalo histórico que se produce tras la descubierta de la incomensurabilidad de grandezas (el número irracional, ¡para los griegos a-logos!, entra en contradicción con el mismo sistema de pensamiento). Por otra parte, Euclides (22) afirma que el uno es la realidad y la unidad es aquello por lo cual se dice, de cada uno de los entes que son, que es uno.

Bien distintas son las cosas para el árabe: su sistema lengua/pensamiento no es logos, sino mana: prevalece no la pretensión de que el lenguaje acompañe pari passu el ente, sino el sentido mental (intentio, mana), independiente de la correspondencia-logos con lo real.

De ahí que la ciencia árabe, por antonomasia, sea el Álgebra (con cero y números negativos etc.). Y lo irracional, en la incomensurabilidad geométrica, es aceptado con total naturalidad por el árabe.

Es oportuno en ese sentido describir —aunque de modo breve— la superación del sistema logos en el caso paradigmático de la acogida árabe de los conceptos matemáticos de razón y proporción(23).

Esa superación tiene un importante marco en el famoso matemático y poeta Omar Khayyam, que abre el camino para el establecimiento de los números irracionales.

Para analizar los conceptos de razón y proporción en los Elementos, comencemos por la observación de Heath: “Es digno de atención, el hecho de que la teoría de las proporciones recibe doble tratamiento en Euclides: se refiere a grandezas en general, en el libro V, y sólo al caso particular de números, en el libro VII”(24).

Para Heath, Euclides sigue la tradición: reproduciendo la antigua teoría de proporciones (anterior a la crisis de los incomensurables) y también la nueva, atribuída a Eudoxo (la del libro V). Esta definición (V, def. 5) afirma: “Se dice que magnitudes están en la misma razón —la primera para la segunda y la tercera para la cuarta— cuando: para cualesquiera equimúltiplos que sean tomados de la primera y de la tercera comparados a cualesquiera equimúltiplos que sean tomados de la segunda y de la quarta; los primeros equimúltiplos coinciden en superar (o igualar o inferar) los segundos equimúltiplos respectivamente tomados en orden correspondiente”.

Vuillemin hace notar que esta teoría permite eludir el problema de los irracionales(25): el concepto de razón se substrae al ámbito de la medida (y se evita, por tanto, el escándalo de los incomensurables).

Y es precisamente esa definición de razón la que será objeto de crítica por parte de Omar Khayyam: para él, Euclides no hubiera atinado con el verdadero significado de razón, que se encuentra en el proceso de medida de una grandeza por otra (26).

Así, Omar Khayyam define A:B = C:D

“Todos los múltiplos de la primera son retirados de la segunda, hasta que se llegue a un resto menor que la primera e, igualmente, todos los múltiplos de la tercera son retirados de la cuarta, hasta que se llegue a un resto menor que la tercera. Y el número de múltiplos de la primera en la segunda es igual al número de múltiplos de la tercera en la cuarta. Y más: se extrae de la primera, todos los múltiplos del resto de la segunda, hasta obtener un nuevo resto menor que el resto de la segunda e igualmente, se extrae de la tercera, todos los múltiplos del resto de la cuarta, hasta obtener un nuevo resto menor que el resto de la cuarta. Y el número de múltiplos del resto de la segunda es igual al número de múltiplos del resto de la cuarta. Etc.

Y, así, ad infinitum. Entonces, la razón entre la primera y la segunda es necesariamente la que se da entre la tercera y la cuarta. Esta es la verdadera proporcionalidad a modo geométrico”(27).

Este proceso —ya mencionado por Aristóteles— es lo que los griegos llaman antanairesis o antiphayresis:

La cantidad menor, digamos B, es sustraída de A, con resto R1.

Y así R1 = A — q1B.

Enseguida, R1 es sustraído —tanto cuanto posible— de B:

R2 = B — q2R1,

Y de ese modo se procede indefinidamente...

Tras afirmar la excelencia de la antiphayresis, Omar Khayyam plantea la cuestión decisiva para el establecimiento de los números irracionales: si la razón debe ser entendida como un tipo de número.

Desprendidos del enraizamiento griego en la correspondencia pensamiento/realidad, autores árabes como Nasir ad-Din at-Tusi no tendrán inconveniente en considerar todas las razones (y los irracionales, como límites de las antiphayresis) como números.

Una tal acogida sólo es posible en sistema mana...


Notas
1. En este trabajo, nos referimos sobre todo a los casos paradigmáticos de Geometría en Los Elementos de Euclides y Álgebra, tal como fundada por Al-Khwarizmi.
2. Anawati, M-M e Gardet, Louis Introduction a la Théologie Musulmane, Paris, Vrin, 1981, p. 44.
3. No es ajeno a nuestro tema el hecho de que ese califa haya hecho de una particular doctrina, la muatazilita, la teología oficial del Império.
4. Kline, Morris Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press, 1972, p. 192.
5. In Quatre conférences publiques organisées par lUnesco, UNESCO, 1981, p. 152.
6. Garaudy, Roger Promessas do Islam, Rio de Janeiro, Nova Fronteira, 1988, p. 70.
7. Y si sólo hay hijas...
8. Tratamos más detenidamente de ese tema en Tomás de Aquino hoje, Curitiba-S. Paulo, PUC-PR - GRD, 1993.
9. En sus Princípios políticos, filosóficos, sociais e religiosos, Rio de Janeiro, Record, 1980.
10. Ayyat significa no sólo señal, sino además versículo del Corán...
11. “Deus, em sua misericórdia infinita, confiou o Alcorão a Seu profeta, para que o homem possa decifrar a natureza e, desta forma, transcendê-la. O estudo do Alcorão é uma iniciação ao estudo da natureza. O estudo da natureza é uma procura de Deus. Os fenômenos naturais são cifras que significam Deus. O Alcorão fornece os testes de verificação para os esforços decifradores da pesquisa da natureza. O homem pode comparar a natureza ao Alcorão, porque sua mente participa do espírito divino. A origem divina da mente humana é vivenciada justamente por sua capacidade de adequação do Alcorão à natureza. Por sua capacidade algébrica e decifradora, a mente humana tem a estrutura da mente divina” (FLUSSER, V. “A mesquita e a escrita”, Revista de Estudos Árabes, DLO-FFLCHUSP, v. 1, n. 2, 1993, p. 33.
12. Cfr. por ejemplo: Youschkewitch, A. P. Les mathématiques arabes, Paris, Vrin-CNRS, 1976. Dalmedico, A. - Peiffer, J. Une histoire des mathématiques, Paris, Seuil, 1988. Waerden, B. L. van der A History of Algebra, New York, Springer Verlag, 1985.
13. Garaudy, op. cit. pp. 81, 84-85.
14. “Modernidade Clássica e Ciência Árabe”, Revista de Estudos Árabes, DLO-FFLCHUSP, v. 1, n. 1, 1993, p. 9.
15. Lohmann, Johannes “Santo Tomás e os Árabes - Estruturas lingüísticas e formas de pensamento” Revista de Estudos Árabes, Centro de Estudos Árabes/FFLCHUSP, São Paulo, Ano III, n. 5-6, pp. 33-51. Tit. orig.: “Saint Thomas et les Arabes (Structures linguistiques et formes de pensée)”, Revue Philosophique de Louvain, t. 74, fév. 1976, pp. 30-44. Trad.: Ana L. Carvalho Fujikura e Helena Meidani.
16. Art. cit. p. 38.
17. En el sentido técnico-filosófico de intentio, presentado por Lohmann.
18. Art. cit. p. 35-36.
19. Art. cit. p. 35.
20. En el sentido técnico que Ortega y Julían Marías dan a esa expresión.
21. Cit. por Waerden, B. L. op. cit., pp. 14-15.
22. Livro VII, def. 1. Citaremos por la ed. de Heath, Thomas L. The Thirteen books of Euclids Elements, translated from the text of Heiberg with Intr. and Comm. New York, Dover, 2nd. ed., s.d., vol. I-III.
23. Un estudio todo dedicado a la recepción del concepto euclidiano de razón por los árabes es el de Plooij, E. B. Al-Djajjâni — Commentary on Ratio in Euclids conception of Ratio as criticized by arabian commentators, Rotterdam, Uitgeuerij W.J. van Hengel, 1950.
24. Op. cit. v. II, p. 113.
25. Vuillemin, Jules De la Logique a la Théologie, Paris, Flammarion, 1967, pp. 12 e ss.
26. Como observa Dirk J. Struik en “Omar Khayyam Mathematician” The Mathematics Teacher, April 1958: “Omar is here on the road to the extension of the number concept which leads to the notion of the real number”.
27. Cit. por Waerden, B. L. v. der A History of Algebra — From al-Khwarizmi to Emmi Noether, N. York, Springer Verlag, 1985, p. 30.

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